Question

已知函数f（x）＝（x+1）lnx-x+1. （1）若fx‘（x）小于等于x平方+ax+1，求a的取值范围；（2）证明：...

已知函数f（x）＝（x+1）lnx-x+1.
（1）若fx‘（x）小于等于x平方+ax+1，求a的取值范围；（2）证明：（x-1）f（x）大于等于0·

Answer 1

证明：
（1）
f'(x)=(x+1)/x+lnx-1
xf'(x)=1+xlnx
xf'(x)≤x^2+ax+1
则x^2+ax-xlnx》0
a≥-x+lnx

令g(x)=-x+lnx
g'(x)=-1+1/x
g'(1)=0所以在（0,1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数
所以g(x)=-x+lnx≤-1 ，故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
所以a≥-1

（2）
由（1）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+ 1/x -1）
=lnx-x（ln1/x - 1/x +1）
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
综上所述，（x-1）f（x）≥0

Answer 2

这是个高中题啊，解为：
解：（I）f′(x)=x+1x+lnx-1=1x+lnx
所以f′（1）=1，所以切线方程y=x-1
（Ⅱ）xf′（x）≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1，
即：xlnx≤x2+ax，x＞0，则有lnx≤x+a，
即要使a≥lnx-x成立．
令g（x）=lnx-x，那么g′(X)=1x-1=0⇒x=1，
可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
那么要使得a≥lnx-x 成立，则有a≥-1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0
当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0，
当x≥1时，f（x）=xlnx+lnx-x+1
=lnx+（xlnx-x+1）
=lnx+x（lnx+1x-1）
=lnx-x（ln1x-1x+1）
≥0．
∴f（x）=xlnx+lnx-x+1=lnx+（xlnx-x+1）≥0
综上所述，（x-1）f（x）≥0
望采纳啊，求啊！！