Question

P是三角形ABC所在平面外一点，且PA垂直平面ABC，若O、Q分别是三角形ABC和三角形PBC的垂心，

求证OQ垂直平面PBC

Answer 1

延长BQ直线与PC交于D
延长BO直线AC交于E
则BQOEF在一个平面内
∵ O、Q为三角形ABC和PBC的垂心
∴ BD⊥PC,BE⊥AC
∵ PA⊥平面ABC,BE在平面ABC内
∴ PA⊥BE
∴ BE⊥平面PAC,PC在平面PAC内
∴ BE⊥PC
∴ PC⊥平面BED(BD、BE交线组成的平面)
∴ PC⊥OQ
同理，延长CO、CQ直线交AB、PB于F、G
可以得到BG⊥OQ
即：OQ⊥PC,OQ⊥PB
∴ OQ⊥平面PBC
本题需要注意的是，证明OQPA在一个平面内，总是觉得别扭，尽管确实他们在一个平面内。 而且还要证明PQ、PO交于BC上同一个点，不证明是不能直接用的。尽管他们确实交于一点