Question

高三数学附加题

已知f（n）=1+1/2^3+1/3^3+1/4^3……+1/n^3,g(n)=3/2-1/(2n^2),n属于正整数
猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明

Answer 1

猜想：f(n)<g(n)
(1)当n=1时，f(1)=1，g(1)=3/2-1/4=5/4，所以f(1)<g(1)成立。
(2)假设当n=k时，f(n)<g(n)成立，所以f(k)<g(k)。
当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+1/(k+1)^3<g(k)+1/(k+1)^3=g(k+1)-1/(2k^2)+1/[2(k+1)^2)+1/(k+1)^3=g(k+1)-1/(2k^2)+(k-1)/[2(k+1)^3]<g(k+1)-1/(2k^2)+1/[2(k+1)^2]
因为1/(2k^2)>1/[2(k+1)^2]，所以-1/(2k^2)+1/[2(k+1)^2]<0
所以g(k+1)-1/(2k^2)+1/[2(k+1)^2]<g(k+1)
所以f(k+1)<g(k+1)成立。
根据(1)(2)可知，对于任意n属于正整数f(n)<g(n)成立。