Question

导数的含参问题：已知函数f(x)=lnx+(1-x/ax)，其中a为大于零的常数。

导数的含参问题：已知函数f(x)=lnx+(1-x/ax)，其中a为大于零的常数。
(1) 若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增，求a的取值范围。
(2) 求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值。

Answer 1

f(x) = lnx + (1 - x)/(ax)
f'(x) = 1/x + [(ax)(-1) - (1 - x)(a)]/(ax)²
= 1/x - a/(ax)²
= 1/x - 1/(ax²)
∵f(x)在[1，+∞)递增，
∴f'(1) > 0
1 - 1/a > 0
a(a - 1) > 0
a < 0 或 a > 1，但a > 0
所以a的取值范围是(1，+∞)
f'(x) = 1/x - 1/(ax²) = (ax - 1)/(ax²)
f''(x) = (2 - ax)/(ax³)
令f'(x) = 0
则ax - 1 = 0
x = 1/a
f''(1/a) = a² > 0，取得极小值
f(1/a) = 1 - lna - 1/a，当a > 1时，f(1/a) < 0
在端点，f(1) = 0，f(2) = ln2 - 1/(2a)，当a > 1时，f(2) > 0
所以最小值为f(1/a) = 1 - lna - 1/a

Answer 2

没错1-X分之ax

Answer 3

题目打错了把？x/ax？？

追问

1-x是分子~ax是分母~