Question

如图，在梯形ABCD中，AE⊥BE，AD+BC=AB，是否可以证明E是CD中点，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC

若可以，请写出证明过程，若不可以，请说明理由

Answer 1

无法证明本题中的结论。因为AE⊥BE,AD+BC=AB，

缺少同时成立的条件。

证明：

设AB的中点O,DC中点为E,

过AB中点O作圆O,连接OE,

则有OE=1/2•(AD+BC)=1/2•AB

∴点E在圆O上，

∴∠AEB=RT∠

则AE⊥BE符合本题假设，

可见OE是梯形的中位线

E是DC上唯一的中点

也就是说E是CD与圆O唯一的交点，

∴CD与圆O相切于E，

故OE⊥CD

可是OE∥AD∥BC(中位线啊)

∴AD⊥CD

但是本题没有这个条件，所以无法使AE⊥BE,AD+BC=AB，

同时成立。

Answer 2

如果DC⊥AD，则命题是真命题；如果DC不与两底垂直，则命题仅是可能的情况之一。见附图。

在AB上取一点F，使AF=AD，那么FB=BC，连接FD、FC。

∵AD∥BC，△AFD和△BFC都是等腰三角形，可证∠AFD+∠BFC=90°，△DFC是直角三角形；

作FD和FC的垂直平分线则两垂直平分线一条过A点，另一条过B点，且两线互相垂直，其交点E是直角三角形DFC的外心，故E点必是DC的中点。还有AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。这些都是题目希望的结论。

应当看到，因为E是过A、B的两垂线的交点，所以E点在以AB中点M为圆心以AB/2为半径的⊙M上，ME是梯形的中位线，如果DC⊥AD，则⊙M与DC相切，E点在DC上是唯一的，这时题目是真命题。如果DC不与AD垂直，那么⊙M与DC有两个交点：除了DC的中点E还有另一点E'。显然E'不是DC的中点，从而E'不具备E点的所有性质。(附图中未画出⊙M)