Question

已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,求向量PA*PB最小值?

Answer 1

设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。

故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2

引用了http://zhidao.baidu.com/question/274719650.html
希望能及时回答你的问题

Answer 2

设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/(1+x^2)
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2

x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0, t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0, t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。

故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2

Answer 3

设PA与PO的夹角为a,则
|PA|=|PB|=1/tan(a)
y=PA.PB=|PA|*|PB|*cos(2a)
=1/[(tana)^2] *cos(2a)
=(cosa)^2/[(sina)^2] * cos2a
=[(1+cos2a)/(1-cos2a)] *cos2a
(用到(cosa)^2=(1+cos2a)/2
(sina)^2=(1-cos2a)/2
记cos2a=u.
则y=u(1+u)/(1-u)=-u-2+ 2/(1-u)
=-3+(1-u)+2/(1-u)
>=-3+2*根号{(1-u)*[2/(1-u)]}
=-3+2*根号2