Question

直线y=-x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，点M是线段AB上一点（点A,B除外），过M作MC⊥OA于C，MD⊥OB于D。

①当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长有没有发生变化？
②当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积最大，最大为多少？
③当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0<a<4）,正方形OCMD，与△AOB重叠部分的面积为S，试求S与a的函数关系式。

Answer 1

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；

    则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；

∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；

（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC•MD＝（－x+4）• x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0<x<4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；

（3）如图10（2），当 时， ；

如图10（3），当 时， ；

∴S与 的函数的图象如下图所示：

Answer 2

是3