Question

在三角形ABC中，B=60度，AC=根号3

（1）求三角形ABC的内角A的取值范围
（2）求AB+BC的取值范围
急！！！~

Answer 1

第一个问题：
∵B＝60°，而A＋B＋C＝180°，∴A＋C＝120°。显然需要：A＞0°、C＞0°，∴A＜120°。
∴A的取值范围是（0，2π/3）。

第二个问题：
由余弦定理，有：AB^2＋BC^2－2AB×BCcosB＝AC^2＝3，
∴AB^2＋BC^2－2AB×BCcos60°＝3，∴AB^2＋2AB×BC＋BC^2－3AB×BC＝3，
∴（AB＋BC）^2－3＝3AB×BC。

在△ABC中，显然有：AB＞0、BC＞0，∴AB＋BC≧2√（AB×BC），
∴3AB×BC≦（3/4）（AB＋BC）^2，
由（AB＋BC）^2－3＝3AB×BC、3AB×BC≦（3/4）（AB＋BC）^2，得：
（AB＋BC）^2－3≦（3/4）（AB＋BC）^2，∴4（AB＋BC）^2－12≦3（AB＋BC）^2，
∴（AB＋BC）^2≦12，∴0＜AB＋BC≦2√3。
∴（AB＋BC）的取值范围是（0，2√3）。