Question

在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点

在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．
（1）求证：PE=BO；
（2）设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

先求证（1）：直角△bop中∠obp=45°-∠pbd=45°-∠pdb；
直角△ped中∠pde=45°-∠pdb(三角形外角等于不相邻两内角之和）；
斜边 bp=dp;
所以，二△全等，直角边pe=bo. 在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点

Answer 2

∠PDB=∠PBD=45+∠PBO=45+∠DPC(∠PDB外角)
所以，∠PBO=∠DPC。
又BP=DP
RtΔBOP≌RtΔPDE
所以，BO=PE
2）PE=AO=BO=OC=a,AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=a√2
作EF⊥CD，EF=EC*√2/2
y=SΔbpe+Sbde-Scde
=a^2/2+a(a-x)/2=a^2-ax/2-(a-x)^2/2
0<=x<=a

Answer 3

先求证（1）：直角△bop中∠obp=45°-∠pbd=45°-∠pdb；
直角△ped中∠pde=45°-∠pdb(三角形外角等于不相邻两内角之和）；
斜边 bp=dp;
所以，二△全等，直角边pe=bo.