Question

在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC与E，求证D为BC的中点，和过O做OF垂直于AC，AF=7/3，B

C=2，求半径

Answer 1

(1)证:

连接AD。因为直径对应的圆周角一定是直角，所以∠ADB是直角，即AD⊥BC。

又因为△ABC是等腰三角形，等腰三角形底边垂线与中线重合，所以D为BC中点。

(2)解:

设半径为r，则AB=2r。

连接BE，因为AB是直径，所以∠AEB是直角，所以OF//BE。

由此易知△AOF∽△ABE，OF为△ABE的一条中位线，故可得AE=2AF=14/3。

因为△ABC等腰，所以EC=AC-AE=AB-AE=2r - 14/3。

由三角形勾股定理可得：

在Rt△ABE中，BE^2 = AB^2 - AE^2；

在Rt△BCE中，BE^2 = BC^2 - EC^2。

两个结合起来可得：AB^2 - AE^2 = BC^2 - EC^2

即 (2r)^2 - (14/3)^2 = 2^2 - (2r - 14/3)^2

化简得：4r^2 = 4 -4r^2 + 56/3 r

即 8r^2 - 56/3 r -4 = 0

解得x1= (7+√67) / 6；x2=(7-√67) / 6 (小于0，舍去)

所以r = (7+√67) / 6

额，这个得数有点怪..还望楼主再算一遍。。