Question

一道关于数列的高中数学证明题

在数列An中，An=n+根号2
求证，此数列中任三项都不能构成等比数列

Answer 1

证：
用反证法。
an=n+√2
设其中某三项ap,aq,ar成等比数列，不妨设aq为中间项。
ap=p+√2
aq=q+√2
ar=r+√2
(p,q,r均为正整数，且互不相等）

则有
aq^2=apar
(q+√2)^2=(p+√2)(r+√2)
q^2+2q√2+2=pr+(p+r)√2+2
pr=q^2
p+r=2q
p,r是方程x^2-2qx+q^2=0的整数根。
(x-q)^2=0
x=q
p=r=q
由于设定的p,q,r是数列不同的三项，p,q,r互不相等，因此方程无解，假设错误。
数列{an}中任意不同的三项都不可能成为等比数列,结论成立。