Question

用数学归纳法证明：若n为大于1的整数，则1/3+1/7+...+1(2^n-1)<n.

Answer 1

[1]
n=2时,易知,有1/3＜2. 成立
n=3时,易知,有(1/3)+(1/7)=10/21＜3成立.
[2]
假设当n=k时,(k≥2)恒有(1/3)+(1/7)+,,,+[1/(2^k-1]＜k
这个不等式两边都加上1/{[2^(k+1)]-1}
显然,1/{[2^(k+1)]-1}＜1
∴(k)+1/{[2^(k+1)]-1}＜k+1
∴(1/3)+(1/7)+...+1/{[2^(k+1)]-1}＜k+1.
∴当n=k+1时,原不等式仍成立.
∴原不等式对任意n≥2的整数均成立.

Answer 2

n>1
2^n>2
2^n-1>1
1/(2^n-1)<1

1/3<1
1/7<1
……
1/(2^n-1)<1
相加
1/3+1/7+……+1/(2^n-1)<1+1+……+1=n
所以
1/3+1/7+...+1(2^n-1)<n.

Answer 3

(1) n=2时,易知,有1/3＜2. 不等式 成立
(2) 假设当n=k时,(k≥2)恒有(1/3)+(1/7)+,,,+[1/(2^k-1]＜k
两边加1/2^k
(1/3)+(1/7)+,,,+[1/(2^k-1]+1/2^k＜k+1/2^k<1+k 因为1/2^k<1
即(1/3)+(1/7)+,,,+[1/(2^k-1]+1/2^k＜k+1/2^(k+1-)<1+k
即证明当n=k+1时,原不等式仍成立
故对任意n≥2的整数不等式均成立.