Question

复合函数用换元法再泰勒展开，为何不用对所换的元进行求导而是直接往回带就可以了？

Answer 1

所有x的奇次项前面的系数都等于零。这是因为在exp(-x^2/2)对x求导时，

导一次就是 -xexp(-x^2/2)，代入x=0就是0；

导二次就是 -exp(-x^2/2) + x^2exp(-x^2/2)，代入x=0就是-1；

导三次就是 -xexp(-x^2/2) + 2xexp(-x^2/2) - x^3exp(-x^2/2)，代入x=0还是0。

导奇数次，exp前总会出来一个x，所以代入x=0，就总是0，对应的泰勒级数项就不存在了。剩下的偶次幂的项就正好是答案。

扩展资料：

换元法的应用技巧：

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先观察算式，可发现这种需换元法之算式中总含有相同的式子，然后把它们用一个字母替换，推演出答案，然后若在答案中有此字母，即将该式带入其中，然后就可以算出。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。

参考资料来源：百度百科—换元法

参考资料来源：百度百科—泰勒公式

Answer 2

老老实实算是对的，没问题，你大可以这么做。但是你会发现，所有x的奇次项前面的系数都等于零。这是因为在exp(-x^2/2)对x求导时，
导一次就是 -xexp(-x^2/2)，代入x=0就是0；
导二次就是 -exp(-x^2/2) + x^2exp(-x^2/2)，代入x=0就是-1；
导三次就是 -xexp(-x^2/2) + 2xexp(-x^2/2) - x^3exp(-x^2/2)，代入x=0还是0；
。。。
你导奇数次，exp前总会出来一个x，所以你代入x=0就总是0，对应的泰勒级数项就不存在了。剩下的偶次幂的项就正好是答案。
可以进行代换的原因是当x趋于0时，替换变量t=-x^2/2也趋于0。只有x和替换变量在展开点是同一个极限才可以这么做。要是在x=1处展开，就得老老实实算（你可以令t = x-1，或者t=(x-1)^2之类的，保证同一个极限，然后用例题的代换法展开，但是这么做无疑是自找麻烦）。

Answer 3

公式中的x和换元的x不是同一个。。。