Question

已知函数f(x)=ax-(a/x)-2inx在定义域上为单调函数,求实数a的范围

Answer 1

a=0时，f(x)=-2lnx在区间(0,+∞)上是单调递减函数。
a≠0时，f'(x)=a+a/x²-2/x=(ax²-2x+a)/x²，
因为f(x)=ax-(a/x)-2lnx在定义域上为单调函数，
所以ax²-2x+a≥0或ax²-2x+a≤0在区间(0,+∞)上恒成立，
当a>0时，要使ax²-2x+a≥0对于x>0恒成立，
即a(x-1/a)²+a-1/a≥0对于x>0恒成立，
因此当x=1/a>0时，必有a-1/a≥0，a²-1≥0，即a≥1；
当a<0时，显然ax²-2x+a<0对于x>0恒成立。
综上，a的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞)。