Question

设a>0，函数f(x)=x|x-a|-a 1、求函数的单调区间 2、讨论函数y=f(x)的零点个数

Answer 1

1）
x>=a时，f(x)=x(x-a)-a=x^2-ax-a=(x-a/2)^2-a-a^2/4
对称轴为x=a/2<a, 开口向上，因此在（a，+∞）单调增
此区间最小值为f(a)=-a
x<a时，f(x)=x(a-x)-a=-x^2+ax-a=-(x-a/2)^2-a+a^2/4
对称轴为x=a/2<a, 开口向下，因此在(a/2,a)单调减，在（-∞,a/2)单调增
此区间最大值为f(a/2)=-a+a^2/4
2）由1）的讨论，在x>=a有一个零点
当-a+a^2/4<0时，即0<a<4时在x<a无零点
当a=4 时在x<a有一个零点
当a>4时在x<a有两个零点
综合得：
当0<a<4时f(x)有1个零点
当a=4 时f(x)有2个零点
当a>4时f(x)有3个零点