Question

数学大侠们 急求解三道实数分析证明题 感激不尽 奉上全部积分 急！！！

题目是英文的 如果看不懂我翻译的 请劳烦参见图片
1. A 是一个属于实数的非空子集。如果A同时有上界和下界，A是有界限的。也就是说，如果存在实数m和实数M这样对所有a属于A，有m<=a<=M。证明A是有界限的，当且仅当存在实数T这样a的绝对值小于等于T对于所有a属于A。

2. 用邻域（neighborhood)证明：（A是实数的非空子集）
a. 如果x是A的一个孤立点， 那么x属于A的边界点
b. A的边界点集合是个闭集

3. 已知Xn和Yn序列，Zn定义为“打乱”的序列（X1，Y1，X2，Y2,....,Xn, Yn,.....). 请证明Zn是收敛的 当且仅当Xn和Yn都收敛 还有lim Xn = lim Yn.
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Answer 1

1. m <= a <= M ==> -|m|-|M| <= a <= |m|+|M|，取T=|m|+|M|即可
反过来取m=-T, M=T即可

2a. x是A的一个孤立点
<==> 存在x的邻域U0(x)使得去心邻域U0(x)\{x}和A的交集为空集
==> x的任何邻域都包含A以外的点
<==> x是A的一个边界点

2b. 记B=bd(A)，
B的任何聚点x，x的任何去心邻域U(x)\{x}内都存在B中的点y，取y包含于U(x)的邻域U'(y)，注意y是A的边界，即U'(y)中既有A中的点也有A以外的点，这样U(x)内既有A中的点也有A以外的点，于是x也是A的边界点，即x属于B。
既然B包含了它的一切聚点，B就是闭集。

3. 注意收敛的定义：limZn=Z <==> 对于任何e>0，存在N>0，当n>N时|Zn-Z|<e
以及X(n)=Z(2n-1), Y(n)=Z(2n)
若limZn=Z，则对于任何e>0，当n>N时|X(n)-Z|=|Z(2n-1)-Z|<e, 即limXn=Z，同理limYn=Z
反过来，若Xn和Yn都收敛且极限相同（记为Z），那么对于任何e>0，
存在Nx>0，当n>Nx时|Xn-Z|<e
存在Ny>0，当n>Ny时|Yn-Z|<e
取N=2max{Nx,Ny}，当n>N时|Zn-Z|<e（对n分奇偶性讨论），即limZn=Z

这些都是只要用一下定义就能做出来的简单问题，尤其第一题和第三题都拿出来问实在是非常过分了，说明几乎完全没动过脑子。如果不是因为你把题目翻译了一下（这从一定程度反映出你或多或少还有那么一点积极的学习态度）这种题目我根本就不会帮你写，你自己好好反省一下。

追问

太感谢了 大侠 不瞒你说这学期真的颓废很 一看英语就头疼 看过你的解释后 真的非常感谢~