Question

在平面直角坐标系xoy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，所以|AB|=6|OA|，|OB|=|OC|=5IOAI，S△ABC=15，
即0.5*IABI*IOCI=0.5*6IOAI*5IOAI=15，IOAI=1，所以点A、B、C的坐标分别为(0,-1)、(5,0)、(0,-3)，把它们代入y=ax^2+bx+c中，解得a=1，b=-4，c=-5，所以此抛物线的函数表达式为
y=x^2-4x-5。
（2）抛物线的对称轴为x=2，依题意，设E点的坐标为（x+2，y），则F的坐标为（x+2，y），当矩形EFGH为正方形时，EF=EH，即(x+2)-(x-2)=y，解得y=4，即该正方形的边长等于4。
（3）使△MBC中BC边上的高为7根号2，直线BC的解析式求得为y=-x-5，即x+y+5＝0，设M的坐标为（x，y），则x+y+5=14，联立y=x^2-4x-5，解得x=3-根号65，y=6+根号65或x=3+根号65，y=6-根号65（不合题意舍去），所以点M的坐标为（3-根号65，6+根号65）。

Answer 2

我刚刚找到答案，希望能帮到苦逼的学子们啊、、
（1） 由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC= AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；
（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；
（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，
由△ABC= AB×OC=15，得 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），
∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），
即y=x2﹣4x﹣5；

（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，
由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，
解得m=1± 或m=3± ，
∵m＞2，∴m=1+ 或m=3+ ，
边长EF=2（m﹣2）=2 ﹣2或2 +2；
（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，
依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7 ，
联立 ， ，
解得 或 ，
∴M点的坐标为（﹣2，7），（7，16）．