用定义计算下列行列式
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解:根据行列式的定义,从行列式不同行(或列)中取数的全排列,任意一种排列中全部数字之积,再把所有排列求出的积求和等于行列式的值。
先假设行列式中,a(ij)≠0 【其中,i=1,2,……,n; j=1,2,……,(n+1 - i )】
因为如果取数排列中含有零,则这一排列的积为零,
所以,计算行列式的值时,只需考虑全不为零的取数排列。
于是,我们不妨先看第n行,只有a(n1) ≠ 0,所以只能取a(n1)
再看第n-1行,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(n-1, 2),
再看第n-2行,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(n-2, 3),
……
如此类推,
当取数到第1行时,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(1n)
所以所选取的n个非零数字为a(n1),a(n-1, 2),a(n-2, 3),……,a(2, n-1),a(1n)
其逆序数 = (n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 = n(n-1)/2
所以,原行列式的值
= {a(n1)* a(n-1, 2)* a(n-2, 3)* …… * a(2, n-1)* a(1n)} 的积 再乘以 (-1)的 n(n-1)/2 次方
先假设行列式中,a(ij)≠0 【其中,i=1,2,……,n; j=1,2,……,(n+1 - i )】
因为如果取数排列中含有零,则这一排列的积为零,
所以,计算行列式的值时,只需考虑全不为零的取数排列。
于是,我们不妨先看第n行,只有a(n1) ≠ 0,所以只能取a(n1)
再看第n-1行,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(n-1, 2),
再看第n-2行,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(n-2, 3),
……
如此类推,
当取数到第1行时,只能选择的不同行(列)的非零数字只有a(1n)
所以所选取的n个非零数字为a(n1),a(n-1, 2),a(n-2, 3),……,a(2, n-1),a(1n)
其逆序数 = (n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 = n(n-1)/2
所以,原行列式的值
= {a(n1)* a(n-1, 2)* a(n-2, 3)* …… * a(2, n-1)* a(1n)} 的积 再乘以 (-1)的 n(n-1)/2 次方
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