Question

求级数的和

Answer 1

令f(x)=1/(1+x)=求和（n＝0到无穷）(－1)^n*x^n，
求导得：求和（n＝1到无穷）(－1)^n*n*x^(n－1)=－1/(1+x)^2，
再次求导得：求和（n＝2到无穷）(－1)^n*n*(n－1)*x^(n－2)＝2/(1+x)^3，
同乘以x^2得：求和（n＝2到无穷）(－1)^n*n*(n－1)*x^n=2x^2/(1+x)^3=g(x)，
上式n可写为从0开始求和，因为n＝0和n＝1的两项都是0，于是有
所求级数的和＝求和（n＝0到无穷）(－1)^n*n(n－1)/2^n+求和（n＝0到无穷）(－1/2)^n
=g(1/2)+1/(1+1/2)=4/27+2/3=22/27。