设a∈R,函数f(x)=ax^3-3x^2,

若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈【0,2】,在x=0处取得最大值,求a的取值范围... 若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈【0,2】,在x=0处取得最大值,求a的取值范围 展开
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(Ⅰ)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f'(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.
经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.
(Ⅱ)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).
当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时,g(0)≥g(2),
即0≥20a-24.
故得a≤6/5 .反之,当a≤6/5时,对任意x∈[0,2],g(x)≤6/5x2(x+3)-3x(x+2)=3/5x(2x2+x-10)=3/5x(2x+5)(x-2)≤0,
而g(0)=0,故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0).综上,a的取值范围为(-∞,6/5]

参考资料: www.jyeoo.com

O客
2012-02-27 · TA获得超过3.3万个赞
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g'(x)=f'(x)+f''(x)=3ax^2+2(3a-3)x-6≤0在[0,2]上恒成立
g'(0)≤0且g'(2)≤0
a≤3/4
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