Question

如图,直线y=1/2x+2与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于点A，E两点，若B（1，0）

如图,直线y=1/2x+2与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于点A，E两点，若B（1，0）
（1）求抛物线的函数解析式
（2）点P是直线AE上一个动点，当△PBC周长最短时，求点P的坐标
（3）若Q是x轴上一个动点，且△QAE是直角三角形，求点Q的坐标
（4）若M是线段AE上的一个动点（不包括A，E），过M作MN//y轴交抛物线于N，求MN的最大值

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Answer 1

(1)：由题意可知：A（0,2），D（-4,0）
A点坐标带入二次函数：2=c
将B点坐标带入二次函数：0=0.5*1+b+c
得出 b=-2.5
所以抛物线方程：y=0.5*x^2-2.5x+2。
(2): △PBC的周长，其中BC是固定的，即求PB+PC的最小值。
由（1）得B（1,0），C（4,0）
所以BC=3。
假设P坐标为（x，y），PB=a，PC=b，可知a》0，b》0 。
带入直线得：y=0.5x+2，
△PBC的周长=3+a+b》3+2√ab，当且当a=b时取=号！（不知道你学了不等式没，学了就简单了）
所以周长最小时a=b，即PB=PC，就是△PBC是等边三角形，P点的横坐标是BC的中点，即
x=2.5，这时y=3.25，即P（2.5,3.25）
（3）：这个应该学了向量了吧？
A（0,2），E（6,5）
假设Q坐标为（x，0），
即向量AQ（x，-2），向量EQ（x-6，-5），向量AE（6,3），
（1）：AQ与EQ要垂直，即向量AQ与EQ的乘积为0，即x*（x-6）+10=0，无解。
（2）：AQ与AE垂直，即6x-6=0，解出x=1，所以Q（1，0）
（3）：AE与EQ垂直，即6*（x-6）-5*3=0，解出x=8.5，即Q（8.5,0）
所以△QAE是直角三角形时，Q的坐标是（1，0）或者（8.5,0）
（4）设M的横坐标为x，所以M坐标为（x，0.5x+2），N坐标为（x，0.5*x^2-2.5x+2），
所以MN的长度即为0.5*x^2-2.5x+2-（0.5x+2）的绝对值，
即0.5x^2-3x的绝对值。
又有0.5x^2-3x=0.5*（x-3）^2-4.5，
M点在AE线段上，即0<x<6,
所以0.5x^2-3x的绝对值最大时，即x=3时，即MN最大距离为4.5。

Answer 2

（1）易知A（0，2），结合B点坐标，可知b=-5/2，c=2，y=x^2/2-5x/2+2
（2）设P（x，y），可知C（4，0），PB+PC=根号下（(x-1)^2 + y^2） + 根号下（(x-4)^2 + y^2）>=(|x-1|+y+|x-4|+y)/根号2，“=”成立当且仅当|x-1|=y=|x-4|，x=5/2，y=13/4
（3）角A是直角时，AQ⊥AE，斜率k'=-2，易得Q（1，0）；易得E（6，5）角E是直角时，同理有Q（17/2，0）；当角Q为直角时，设AE中点为M，则M（3，7/2），AE=3*根号5，7/2>3*根号5/2，即以M为圆心，AE长为直径的圆与x轴没有交点，因此不存在Q点使角Q为直角
（4）直线和抛物线的两个解析式相减，y=-x^2/2 + 3x，x=3时有最大值9/2，且3∈(0，6)，故MN最大值为9/2