Question

设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在...

设函数f（x）在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).证明：在(a,b)内至少存在一点ζ，使f'(ζ)=0
参考。。貌似老师说是先用积分中值定理再用罗尔定理。。

Answer 1

∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(b)
因此
∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a)<=>[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(b)
由拉克朗日定理，存在ξ使：
[F(b)-F(a)]/(b-a)=f(ξ)
ξ∈(a,b)
b>ξ>a
=>f(ξ)=f(b)
由l罗尔定理，存在ζ∈(ξ，b)使
f′(ζ)=0
ζ∈(ξ，b)=>ζ∈(a，b)因为ζ>ξ
【改】
∫(a,b)f(x)dx=f(b)(b-a).
由积分中值定理
∫(a,b)f(x)dx=f(β)(b-a).
β∈（a,b）
所以f(β)=f(b)
由罗尔定理
f′(α)=0 α属于（β，b）
也就属于（a,b）
希望能让您满意！