Question

已知向量a=(cos 3/2x,sin 3/2x),b=(cos x/2,-sin x/2)，x∈[0,π/2]

已知向量a=(cos 3/2x,sin 3/2x),b=(cos x/2,-sin x/2)，x∈[0,π/2]
（1）求向量a*b与|a+b|
（2）求f(x)=a*b-2λ|a+b|的最小值是-3/2，求实数λ的值
(2)第一个字打错了
是“若”
（2）若f(x)=a*b-2λ|a+b|的最小值是-3/2，求实数λ的值

Answer 1

(1)
a*b=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2
=cos(3x/2+x/2)
=cos2x=2cos²-1
|a+b|=√(cos3x/2+cosx/2)²+(sin3x/2-cosx/2)²=√2+2cos2x=√[2+2(2cos²x-1)]=2|cosx|=2cosx
(2)f(x)=2cos²x-1-2λ*2cosx
=2cos²x-4λ*cosx-1
对称轴x=λ
当λ≤-1即对称轴在[-1.1]左侧
f(x)在[-1,1]单增
f(x)min=f(-1)=2+4λ-1=-3/2
λ=-5/8>-1与题设矛盾,舍
当-1<λ<1即对称轴在[-1.1]中间
f(x)在[-1,λ]单减[λ,1]单增
f(x)min=f(λ)=2λ²-4λ²-1=-3/2
λ=-1/2或λ=1/2
当λ≥1即对称轴在[-1.1]中间
f(x)在[-1,1]单减
f(x)min=f(1)=2-4λ-1=-3/2
λ=5/8<1与题设矛盾,舍