如图1,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形,它的面积为1,取三角形ABC和DEF各边中点
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A4F4B4D4C4E4的面积是AFBDCE的(1/4)的四次方倍,即等于1*(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/256.
具体过程就是证明相似三角形(因为你仔细研究一下,中间六边形的面积不用考虑,就是考虑六角形的各个三角形的面积比例),AFBDCE之一个角的一个三角形(可以证明其为等边三角形,用到六边形内角和和他是正六边形每边相等)与A1F1B1D1C1E1之一个角的一个三角形的比例为2/1,因为三角形面积公式为1/2*底*高,所以小大两个三角形面积比例为1/4,所以两个六角形面积比为1/4,同理至A2F2B2D2C2E2与A1F1B1D1C1E1A4F4B4D4C4E4的比例也为1/4,同理直至最后,所以正六角形A4F4B4D4C4E4的面积为AFBDCE的(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1*(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/256
具体过程就是证明相似三角形(因为你仔细研究一下,中间六边形的面积不用考虑,就是考虑六角形的各个三角形的面积比例),AFBDCE之一个角的一个三角形(可以证明其为等边三角形,用到六边形内角和和他是正六边形每边相等)与A1F1B1D1C1E1之一个角的一个三角形的比例为2/1,因为三角形面积公式为1/2*底*高,所以小大两个三角形面积比例为1/4,所以两个六角形面积比为1/4,同理至A2F2B2D2C2E2与A1F1B1D1C1E1A4F4B4D4C4E4的比例也为1/4,同理直至最后,所以正六角形A4F4B4D4C4E4的面积为AFBDCE的(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1*(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/256
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面积为等比数列,公比3/4
故第四个的面积为(3/4)³
故第四个的面积为(3/4)³
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解:∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点,
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1,且相似比为2:1,
∵正六角星形AFBDCE的面积为1,
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为
1
4
,
同理可得,第三个六角形的面积为:
1
43
=
1
64
,
第四个六角形的面积为:
1
16
×
1
4
×
1
4
=
1
256
,
故答案为:
1
256 .
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1,且相似比为2:1,
∵正六角星形AFBDCE的面积为1,
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为
1
4
,
同理可得,第三个六角形的面积为:
1
43
=
1
64
,
第四个六角形的面积为:
1
16
×
1
4
×
1
4
=
1
256
,
故答案为:
1
256 .
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没图不好想,原谅,我想象思维不好+_+
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