Question

已知a,b,c均为正整数，且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数，证明：2(a+b+1)是完全平方数

如上

Answer 1

证明：由a^2+b^2=c^2 得，a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b),因a是质数，则c-b=1,(显然c+b>c-b).
则a^2=c+b=b+1+b , b+1=a^2-b, 那么，
a+b+1=a+a^2-b=a^2+2a+1-(a+b+1), 或写成
2(a+b+1)=(a+1)^2,为完全平方数。
证毕。