Question

判断级数1/ln(n!)的敛散性

Answer 1

级数1/ln(n!)的发散。

解法一：

显然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn<nlnn，

于是1/lnn!>1/(nlnn)

而级数求和（n从2到无穷）1/(nlnn)发散

因此原级数发散。

解法二：

在【2，+∞】上有：

∑1/ln(n!)=1/ln2+1/(ln2+ln3)+1/(ln2+ln3+ln4)+.....+1/(ln2+ln3+ln4+.....+lnn)

a‹n›=1/(ln2+ln3+ln4+.....+lnn)=1/lnn!

a‹n+1›=1/[ln2+ln3+ln4+.....+lnn+ln(n+1)]=1/ln(n+1)!

利用拉阿伯判别法：若a‹n›>0(n=1，2，3，......)及n→∞limn[(a‹n›/a‹n+1›)-1]=p，

则当p>1时级数收敛；当p<1时级数发散。

n→∞lim{n[(a‹n›/a‹n+1›)-1]=n→∞limn[(lnn!)/ln(n+1)!-1]}

=n→∞lim{n[lnn!-ln(n+1)!]/ln(n+1)!=n→∞lim[-nln(n+1)/ln(n+1)!]<1

故原级数发散。

扩展资料

数列的敛散性：

对数列（点列）只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性；对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值（定点）的和自变量趋于无穷的这两类收敛性；对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性；对函数列（级数）有逐点收敛和一致收敛。

如级数1+2+3+4+5...和1-1+1-1+1-1+1...，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。

参考资料来源

百度百科-发散

百度百科-收敛性

Answer 2

具体回答如下：

用积分判别法：

 级数求和（n从2到无穷）1/(nlnn)与广义积分

积分（从2到无穷）dx/(xlnx)同敛散

而后者=ln(lnx)|上限无穷下限2=正无穷，发散

柯西准则：

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

Answer 3

显然有lnn!=ln1+ln2+ln3+...+lnn<nlnn，
于是1/lnn!>1/(nlnn)
而级数 求和（n从2到无穷）1/(nlnn)发散，因此原级数发散。

追问

1/(nlnn)发散 这是怎么得出的？

追答

这个也是必须记住的一个级数，很多情况下可能就需要与它进行比较。
用积分判别法：
级数 求和（n从2到无穷）1/(nlnn)与广义积分：积分（从2到无穷）dx/(xlnx)同敛散，
而后者=ln(lnx)|上限无穷下限2=正无穷，发散。