Question

如图，已知在正方形ABCD中，P为BC上的一点，E是边BC延长线上一点，连接AP过点P作PF⊥AP，

如图，已知在正方形ABCD中，P为BC上的一点，E是边BC延长线上一点，连接AP过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF，相交于点F，连接AF，与边CD相交于点G，连接PG．
（1）求证：①∠PAB=∠FPC；②AP=FP；
（2）试判断PB、DG、PC，这三条线段存在怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）在AB上取一点M，使BM＝BP
因为正方形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90度，AB＝BC
故：∠BPM＝∠BMP＝45度，AM＝PC，∠BAP＋∠BPA＝90度
因为CF平分∠DCE
故：∠DCF＝∠FCE＝45度
故：∠AMP＝∠PCF＝135度
又PF⊥AP，故：∠FPC＋∠BPA＝∠APF＝90度
故：∠BAP＝∠FPC
故：△AMP≌△PCF（ASA）
故：AP=FP

（2）因为AP=FP，PF⊥AP
故：∠PAG＝45度，故：∠BAP＋∠DAG＝45度
把△ABP绕A逆时针旋转90度，使AB与AD重合，P点旋转到N点
故：AP＝AN，DN＝BP，∠DAN＝∠BAP
因为∠ADG＝∠B＝90度
故：N、D、G三点在同一条直线上
故：∠GAN＝∠DAG＋∠DAN＝∠DAG＋∠BAP＝45度
因为AG＝AG
故：△APG≌△ANG
故：PG＝NG＝GD＋DN＝GD＋BP
因为⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD
故：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切

（3）如果PG‖CF，则：∠GPC＝∠ECF＝45度
故：∠GPC＝∠PGC＝45度
故：PC＝CG
故：BP＝GD
设：BP＝GD＝x，因为AB=2，PG＝GD＋BP
故：PC＝CG=2-x，PG=2x
在Rt△PCG中，PG²＝PC²＋CG²
(2x )²＝(2-x) ²＋(2-x) ²
故：x=2√2-2
故：当BP取2√2-2时，PG‖CF

Answer 2

在CE上，截取CF=AE，连接BF，不难证明△CFB≌△AEB，所以，CF=AE,角CBF=角ABE，角EB等于90°，BE=根号2倍2，剩下的你都应该会了，剩下的按照这个方法就OK了。

Answer 3

如图，已知在正方形ABCD中，P为BC上的一点，E是边BC延长线上一点，连接AP过点P作PF⊥AP，
ccc

Answer 4

×

Answer 5

fgjhjjddhhbhjfaqhjkd