Question

怎样理解中值定理

主要是从朗格拉日中值定理、柯西定理以及洛儿定理的解决问题的实际出发，也就是它们各自运用的范围

Answer 1

这几个定理没必要区分，相互都是等价的，没有什么很本质的区别，只不过是形式上略有不同

1. 从几何上讲，微分中值定理的几何意义是说在一定条件下“存在与割线平行的切线”
这个几何事实是比较显然的，中值定理提供了一个严谨的叙述

2. 从宏观上讲，微分中值定理是一类存在性的定理，并且建立了整体和局部的联系
而微积分本身大量的工作就在于讨论整体和局部的联系
以Cauchy中值定理为例，
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(t)/g'(t)
左侧是区间的整体性质，右侧的导数则是局部性质，可以解读成区间(a,b)内存在一点t，这一点的导数体现出了区间上的整体性质

中值定理主要的技术作用就是把某些几何意义比较明显的事情严格地讲清楚，这样有些问题就容易解决了
比如说，在某区间上f'(x)>0，那么f(x)严格递增，这个显然的结论需要用中值定理来严格证明，凹凸性的讨论也是如此
更一般一点，很多不等式都可以借助中值定理来解决，毕竟相对而言等式总要比不等式简单一些

至于“运用的范围”，没啥好说的，条件成立就能用，不成立就不能乱用，而且中值定理本质上讲都只对一元实函数成立，至少得记住“闭区间连续，开区间可导”的条件

Answer 2

我从适用情况上给你说说吧：首先这些定理成立的前提都是，函数在给定区间上，闭区间连续，开区间可导，这是大前提！
1、洛尔定理和拉格朗日，一般是用于只有一个函数f(x) 时的情况；柯西中值定理，是用于f(x)、g(x)两个函数的情况。

2、但三者又是相互联系的，柯西定理g(x)=x时，就成了拉格朗日定理；而拉格朗日的f(a)=f(b)时，就又成了洛尔定理。

3、数学中，洛尔定理一般用于，知道f(a)=f(b)，求区间内存在导数为0的点。
其中，拉格朗日是最常用的，可令a或b=x，那么就可以求复杂函数的导函数了；也可用于求导数值；还是证明罗比达定理的必要式子。
柯西定理就比较好看了，就是题目中求两个式子时；或者一个式子能化成上下两个减式的差。【说白了就是套用公式，看和课本给的式子样式一样了，就选用这个式子】