Question

一题很困惑的定积分题∫[0到π] xdx/(4+sin²x)

∫[0到π] xdx/(4+sin²x)
用了公式∫[0到a]f(x)dx=∫[0到a]f(a-x)dx，得到(π/2)∫[0到π] dx/(4+sin²x)
原函数是[arctan(√5/2*tanx)]/(2√5)+C
先算出原函数，再代入上下限这个方法不行
tan(π)=tan(0)=0，无法算出啊

Answer 1

那是因为你求原函数时分子分母同除以cos^2x了，这样得到的原函数在x＝pi/2时不连续，因此不能用Newton——Leibniz公式了。必须分解为0到pi/2和pi/2到pi两个区间分别计算就可以了。
当x从pi/2－时，tanx趋于正无穷，arctan正无穷是pi/2，因此0到pi/2的积分值是pi/【4根号(5)】。
另外一个类似得到pi/【4根号(5)】，两者相加是pi/【2根号(5)】。