Question

急!求教三道概率论和数理统计题!高手请进!(务请给出解题思路和大致过程,感激不尽!)

1.某厂商称其产品的合格率超过99%,检验人员从该厂1000 件中抽查50件,发
现有2件次品, 能否断定该厂商谎报合格率?

2.根据某市交通部门前6个月的事故统计(共238次),统计的星期一至星期日发生事故的次数如下:
星期 1 2 3 4 5 6 7
次数 36 23 29 31 34 60 25
问交通事故得发生是否与周几无关(a=0.05)?
(部分X^2分布上a(0.05)分位点X^2(5)=11.071,X^2(6)=12.592,X^2(7)=14.067)

3.某单位招聘2500人,按考试成绮从高到低依次录取,共有I0000
人报名,假设报名者的成绩服从X~N(u,o^2)。已知90分以上的有359人，60 分以下的
有1151人，试问录取者中的最低分为多少?
(注:Φ(1.0)=0.8413, Φ(1.2)=0.8849,Φ(1.4)=0.9192,Φ(1.6)=0.9452,Φ(1.8)=Φ0.9641.)

Answer 1

设X是所抽取50件中次品数，如果次品率为0.99，于是X~B(50,0.01)
P(X>=2)=1-P(X<2)
=1-P(X=0)-P(X=1)
=1-C(50,0)*0.99^50-C(50,1)*0.01*0.99^49
=0.38888276
由此可知，如果次品率是0.99,50件中次品数大于等于2的概率是0.38888276，发生的可能性不大，但也不是很小。
对于这个结果，不大好下结论。
2）检验假设H0：事故的发生于周几无关，因此事故发生在每天的概率是p=1/7
检验统计量 X^2=Σ(ni-np)^2 / np
当H0成立时，n很大时， X^2近似服从开方分布，自由度为7-1=6；
否定域：由P(X^2>xa)=0.05，查表得xa=12.592
将样本观测值带入计算
X^2=（36-34)^2/34+(23-34)^2/34+(29-34)^2/34+(31-34)^2/34+(34-34)^2/34+(60-34)^2/34+(25-34)^2/34
=26.94117647>12.592=xa
否定H0，即认为交通事故的发生与周几有关。
3）由P(X>90)=359/10000，得(90-u)/σ=1.8;
P(X<60)=1151/10000，得(60-u)/σ=-1.2;
解得 u=72 ，σ=10
低于录取分数的人有7500人，设录取分数为a
于是 P(X<=a)=7500/10000，得 (a-72)/10=0.68 （此数据题目中没有给）
解得 a=78.8

追问

多谢帮助!不过,这几道题都是往年试题,以上解法似乎有问题.想跟阁下继续谈讨一下:
1)往年试题必然有明确答案,因此,本题答案应该是谎报,或者没有谎报.初步判断应该跟样本大小有关.
2)X^2=Σ(ni-np)^2 / np ,选取均值np作为分母似乎有问题.
3)本题解法思路和我的设想一致,但是由于是笔试试题,根据卷面提供的条件,应该可以直接计算得到,因此,P(X<=a)=7500/10000可能不会成立,困惑中.

追答

1）只能如此，不能给你个一个确切答复。
2）这里做的是分布拟合检验，利用皮尔逊定理，公式应该是：X^2=Σ(ni-npi)^2 / npi，但是这里pi都等于p，所以这里的公式没有错误。
3）这里用频率去近似概率，录取了2500人，不录取的就是7500人，频率是7500/10000，这是不录取的概率，那么分数低于a的概率应该是P(X<=a)=7500/10000。前面解答中，用过这个方法，求得了u和σ，从结果看，方法是对的，因此这里不会有问题。