Question

求过点M(1,0)所作椭圆x2/4+y2=1的弦的中点的轨迹方程。

Answer 1

设过M点的直线方程为y=k(x-1),与x^2/4+y^2=1联立得
(4k^2+1)x^2-8k^2x+4k^2-4=0
x=(x1+x2)/2=4k^2/(4k^2+1)
y=(y1+y2)/2=[k(x1-1)+k(x1-1)]/2=-k/(4k^2+1)
所以x=-4ky，即k=-x/4y
代入x=4k^2/(4k^2+1)整理得
x^2+4y^2-x=0
(x-0.5)^2+4y^2=1/4
是个椭圆，标准形式为(x-0.5)^2/(1/4)+y^2/(1/16)=1

Answer 2

过点(1,0)的直线为y=0(x轴)时，弦的中点为原点(0,0)。
设弦所在直线方程为x=ty+1，代入椭圆方程得：(t^2+4)y^2+2ty-3=0。
y1+y2=-2t/(t^2+4)，x1+x2=t(y1+y2)+2=-2t^2/(t^2+4)+(2t^2+8)/(t^2+4)=8/(t^2+4)。
设弦的中点为(x,y)，则x=(x1+x2)/2=4/(t^2+4)，y=(y1+y2)/2=-t/(t^2+4)。
以上两式相除得：t=-4y/x，代入x=4/(t^2+4)并整理得：(x-1/2)^2/(1/4)+y^2/(1/16)=1。
由于原点(0,0)也满足该方程，所以弦中点的轨迹方程为：(x-1/2)^2/(1/4)+y^2/(1/16)=1(椭圆)。

Answer 3

AQ中点M的坐标(x,y),则Q坐标是(2x-1,2y)
Q坐标代入椭圆方程:
(2x-1)^2/4+(2y)^2=1
4x^2-4x+1+16y^2=4
即轨迹方程是:4x^2+16y^2-4x-3=0