Question

求与椭圆x05/16+y05/4=1相交且斜率为1的相交弦中点P的轨迹方程

Answer 1

设弦所在直线方程为y=x+b
P点坐标为(x,y)
直线与椭圆的交点坐标为(x1,y1), (x2,y2)
则x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2
将直线方程代入椭圆方程,整理得到
5x²+8bx+4b²-16=0
判别式Δ=(8b)²-4×5×(4b²-16)=-16b²+320
由题意得Δ≥0,从而-2√5≤b≤2√5
由根与系数的关系得 x1+x2=-8b/5
所以 y1+y2=2b+(x1+x2)=2b/5
从而 x=-4b/5 y=b/5
所以x+4y=0, 且-(8√5)/5≤x0≤(8√5)/5
即P的轨迹方程为 x+4y=0, -(8√5)/5≤x≤(8√5)/5

Answer 2

设两交点P1(x1，y1）P2（x2，y2）
中点为（x，y）
即x1+x2=2x，y1+y2=2y且(y1-y2)/(x1-x2)=1
椭圆方程x²/16+y²/4=1
即x²+4y²=16
代入P1P2坐标
x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减
x1²-x2²+4(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
(x1+x2)+4(y1+y2)(y1-y2)/(x1-x2)=0
2x+8y=0
x+4y=0即为所求轨迹