Question

已知a/b+c=b/c+a=c/a+b，求(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值

Answer 1

若a+b+c=0，则a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，原式=（-c）（-a）（-b）/abc=-1
若a+b+c≠0，由等比性质得：a/b+c=b/c+a=c/a+b=（a+b+c）/（2a+2b+2c）=1/2
所以a+b=2c，b+c=2a，a+c=2b，原式=（2c）（2a）（2b）/abc=8
所以原式值为-1或8

Answer 2

设a/b+c=b/c+a=c/a+b=t

则得到 a=(b+c)t
b=(a+c)t
c=(b+a)t
三式相加 （a+b+c）=2(a+b+c)*t

分两种情况：

（1）当 a+b+c =0 时，t为任意实数，

则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b

(a+b)(b+c)(c+a)/abc=（-c）*（-a）*（-b）/(abc)
=(-abc)/(abc)
=-1

(2) 当 a+b+c ≠ 0 时
（a+b+c）=2(a+b+c)*t 两边同时除以（a+b+c）,得到

t=1/2

则 a/b+c=b/c+a=c/a+b=1/2

化解得到 b+c=2a,c+a=2b,a+b=2c

(a+b)(b+c)(c+a)/abc=（2c）*（2a）*（2b）/(abc)
=(8abc)/(abc)
=8'

综上所述
(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值为 -1 或者 8

Answer 3

设b+c/a=c+a/b+a=c/b+a=t
则b+c=at① c+a=bt② a+b=ct③
①+②+③=2（a+b+c）=(a+b+c)t
(1)当a+b+c不为0时
t=2 b+c=2a c+a=2b a+b=2c
原式=2a·2b·2c/abc=8
(2)当a+b+c=0时
a+b=-c
原式=-1