如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,0)、B(-2,2),连接OB、AB, (1)求该抛物线的解析式.
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由． 展开
2011年张家界数学中考压轴题
由A（—4，0）、B（—2，2）在抛物线 y=ax2+bx图像上，得：16a-4b=0 和
4a-2b=2 解之得：a= -0.5 b= -2 ∴ 该函数解析式为：y= -0.5x2-2x
（2）过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C.
易知：线段CO、CA、CB的长度均为2
∴ △ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形
∴ AB＝OB 且∠ABO=∠ABC＋∠OBC＝ 90°
∴ △OAB是等腰直角三角形
（3） （4） 如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在 轴上且B′A′∥ 轴．
又∵OB′和A′B′的长度为 2倍根号2
A′B′中点P的坐标为（负根号2，2倍根号2 ） ，显然不满足抛物线方程，
∴ 点P不在此抛物线上
（4）存在
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立y=x和y= -0.5x2-2x 解之得 点M（—6，—6）
显然，点M（—6，—6）关于对称轴 的对称点M′（2,—6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（—6，—6）和（2，—6）
S四边形ABOM=S△ABO+S△AOM=0.5×4×2+ 0.5×4×6=16
由A（—4，0）、B（—2，2）在抛物线 y=ax2+bx图像上，得：16a-4b=0 和
4a-2b=2 解之得：a= -0.5 b= -2 ∴ 该函数解析式为：y= -0.5x2-2x
（2）过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C.
易知：线段CO、CA、CB的长度均为2
∴ △ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形
∴ AB＝OB 且∠ABO=∠ABC＋∠OBC＝ 90°
∴ △OAB是等腰直角三角形
（3） （4） 如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在 轴上且B′A′∥ 轴．
又∵OB′和A′B′的长度为 2倍根号2
A′B′中点P的坐标为（负根号2，2倍根号2 ） ，显然不满足抛物线方程，
∴ 点P不在此抛物线上
（4）存在
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立y=x和y= -0.5x2-2x 解之得 点M（—6，—6）
显然，点M（—6，—6）关于对称轴 的对称点M′（2,—6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（—6，—6）和（2，—6）
S四边形ABOM=S△ABO+S△AOM=0.5×4×2+ 0.5×4×6=16已赞同7| 评论(2)
由A（—4，0）、B（—2，2）在抛物线 y=ax2+bx图像上，得：16a-4b=0 和
4a-2b=2 解之得：a= -0.5 b= -2 ∴ 该函数解析式为：y= -0.5x2-2x
（2）过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C.
易知：线段CO、CA、CB的长度均为2
∴ △ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形
∴ AB＝OB 且∠ABO=∠ABC＋∠OBC＝ 90°
∴ △OAB是等腰直角三角形
（3） （4） 如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′
其中点B′正好落在 轴上且B′A′∥ 轴．
又∵OB′和A′B′的长度为 2倍根号2
A′B′中点P的坐标为（负根号2，2倍根号2 ） ，显然不满足抛物线方程，
∴ 点P不在此抛物线上
（4）存在
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立y=x和y= -0.5x2-2x 解之得 点M（—6，—6）
显然，点M（—6，—6）关于对称轴 的对称点M′（2,—6）也满足要求，
故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（—6，—6）和（2，—6）
S四边形ABOM=S△ABO+S△AOM=0.5×4×2+ 0.5×4×6=16
