Question

椭圆焦点与短轴的两个端点的连线相互垂直,则椭圆的离心率为

Answer 1

如图所示：b=c，∵椭圆中a²-b²=c²   ∴ 2c²=a²   c=根号2/2a   则e=c/a=根号2a/a=根号2/2

Answer 2

设短轴两端点为A,B,焦点为F,椭圆中心为O,由已知AF⊥BF, 三角形AFB为等腰直角三角形,
所以三角形AOF也是等腰直角三角形,∣AO∣=∣FO∣=半焦距c,而∣AF∣=长半轴a=√2 c,
所以离心率 e=c/a=1/√2 =√2 /2.

Answer 3

这种问题画图有助于理解 设 该椭圆焦点在X轴上 即短轴在Y轴上
焦点为 F1 F2 设上顶点为P 下顶点为Q
因为 焦点与短轴的两个端点连线互相垂直
所以 角PF1Q=90°根据椭圆的对称性 PF1=QF1=PF2=QF2
所以四边形 PF1QF2 为正方形
所以b=c
所以a²=2c²
e=2分之 根号2

Answer 4

椭圆的焦点与两端点的连线构成一个
等腰直角三角形
,故有2b=√2a,平方一下，得：4b^2=2a^2,因为a^2=b^2+c^2,消b:4(a^2-c^2)=2a^2,即：a^2=2c^2,又e=c/a,e^2=1/2,e>0,所以e=√2/2.