Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝ 3 4 ．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝ 3 4 ．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：PC平分∠EPA；
（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为 25 4 3 时，求∠BPE的度数及PB的长．

Answer 1

考点：旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的性质；全等三角形的判定；解直角三角形．

分析：（1）根据旋转前后三角形的面积不变作为相等关系得到CF=CN，从而判定CP平分∠EPA；
（2）作辅助线构造全等三角形，利用全等的性质和三角函数求解．在PA上截取PM=PE连接CM，过C作CK⊥PA得出，CM=CB=5，再利用三角函数求出BM=6，所以得到PM+PE=6；
（3）要注意有2种情况，△BEC为锐角三角形时和△BEC为钝角三角形时两种，不要漏掉．主要利用直角三角形的勾股定理作为等量关系解方程求线段的长度．

解答：解：（1）过C点作CN⊥DE垂足为N，
∵△ABC≌△DEC，∴AB=DE．
∵S△ABC=1/2AB•CF=S△DCE=1/2DE•CN，
∵CF=CN，
∴CP平分∠EPA．
（2）如图2在PA上截取PM=PE连接CM，过C作CK⊥PA，
由（1）同理可证CP平分∠EPA，
∴∠EPC=∠APC．
∵PM=PB PC=PC，
∴△PMC≌△PEC，
∴CE=CM，PE=PM．
又∵CE=CB，∴CM=CB=5，
在△BCK中，cos∠B=BK/BC=1/2BM/5=BM/10，
在△ABC中，tan∠A=3/4=5/AC，
∴AC=20/3．
∵AB=根号【5^2+(20/3)^2】=25/3，
∴cos∠B=3/5=BM/10．
∴BM=6．
∵BM=PM+PB，
∴PM+PE=6．

（3）如图3，∵△BCE的面积为25/4根号3BC=CE=5，
∴BE=5∠CED=∠PBC∠ECB=60°，
∴∠BPE=60°．
过B点BH⊥PE，设BP=x，
∵PE+BP=6，∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x．
∵PE+BP=6，∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x．
∴5^2=(根号3/2x)^2+(6-x-1/2x)^2，x=3±4/3根号3．
∵3+4/3根号3＞5，
∵∠BPC=120°∴BP＜BC，
∴x=3+4/3根号3，
∴BP=3-4/3根号3．
如图4，当△BEC为钝角三角形时，同理可得BE=5根号3，PE-PB=6，
∵PE=6+x，∠BPE=60°，x=-3±4根号3
∵-3-4根号3＜0，
∴x=4根号3-3．
∴BP=3-4/3根号3 或 4根号3-3．