Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高

1.用三角函数知识说明：①CD²=AD×BD，②BC²=BD×AB成立
2.若AD=6根号3，BC=4根号3，解这个直角三角形

Answer 1

1. 用三角函数证明如下：
①tgA=CD/AD -----------------------（1）
tgB=CD/BD=tg（90° - A）= ctgA = 1 / tgA
tgA=BD/CD -----------------------（2）
∵（1）=（2）
∴BD/CD = CD/AD
即：CD²=AD×BD
②SinA=BC/AB ------------------------(3)
CosB=BD/BC=Cos(90° - A) = SinA
SinA=BD/BC -----------------------(4)
∵（3）=（4）
∴BC/AB = BD/BC
即：BC²=AB×BD
2. 解三角形ABC中各边和角的值：
∵BC²=AB×BD = AB×(AB-AD)=AB²- AB * AD
48 = AB²- 6√3 * AB
∴ AB²- 6√3 * AB - 48 = 0
AB = 8√3 （解一元二次方程，取有效根作解）
BD = 2√3
AC = 12
CD = 6
Sin∠BCD = BD/BC = (2√3) / (4√3 ) = 1/2
∠BCD = 30°
∠B = 60°
∠A = 30°