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选修2-2
第一章 导数及其应用
平均变化率
导数(或瞬时变化率)
导函数(导数):
导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=(x0).
应用:求切线方程,分清所给点是否为切点
导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数); ②()′=(x>0,); ③(sinx)′=cosx;
④(cosx)′=-sinx; ⑤(ex)′=ex; ⑥(ax)′=axlna(a>0,且a≠1);
⑦; ⑧(a>0,且a≠1).
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); ②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
③.
设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处也有导数,且 或。复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式表示,注意确定上方函数,下方函数的选取,以及区间的分割.微积分基本定理.
物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。
函数的单调性
(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数;
(2)如果在某区间内恒有,则为常数。
★★★反之,若已知可导函数在某个区间上单调递增,则,且不恒为零;可导函数在某个区间上单调递减,则,且不恒为零.
求单调性的步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用“,”★隔开,不能用“”连结。
极值与最值
对于可导函数,在处取得极值,则.
最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若在开区间有唯一的极值点,则是最值点。
求极值步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
检验的根的两侧的符号(一般通过列表),判断极大值,极小值,还是非极值点.
求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最小。
恒成立问题 “”和“”,注意参数的取值中“=”能否取到。
例1 ,过的切线方程为
例2 设函数在处取得极值。
(1)求的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。
(答:(1)a=-3,b=4;(2))
例3 设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
(答:(1)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减;时,,时, (2)a的取值范围是)
第二章 推理与证明
分清概念:合情推理与演绎推理
综合法 分析法的步骤规范
反证法 步骤:①提出反设;②推出矛盾 ;③肯定结论
数学归纳法 步骤规范:(1)归纳奠基;(2)递推步骤
(最后一定说明当n=k+1时,结论成立,根据(1)(2),结论对于(或者其他)成立,必不可少)
例1 用综合法和分析证明
例2 已知
例3 ,求的值,由此猜想的通项公式,并证明。
(答:)
第三章 数系的扩充与复数的引入
复数的概念 三种表示形式:代数形式:,复平面内点Z(a,b),向量.
区分实数,虚数,纯虚数,复数
复数的四则运算及其几何意义
复数的模
例1 ()的充要条件是_________________________
例2 设复数满足条件那么的最大值是( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
例3 实数为何值时,复数.
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)为纯虚数;
(4)对应点在第二象限.
例4.已知为实数.(1)若,求;(2)若,求,的值.
第一章 导数及其应用
平均变化率
导数(或瞬时变化率)
导函数(导数):
导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=(x0).
应用:求切线方程,分清所给点是否为切点
导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数); ②()′=(x>0,); ③(sinx)′=cosx;
④(cosx)′=-sinx; ⑤(ex)′=ex; ⑥(ax)′=axlna(a>0,且a≠1);
⑦; ⑧(a>0,且a≠1).
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); ②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
③.
设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处也有导数,且 或。复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式表示,注意确定上方函数,下方函数的选取,以及区间的分割.微积分基本定理.
物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。
函数的单调性
(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数;
(2)如果在某区间内恒有,则为常数。
★★★反之,若已知可导函数在某个区间上单调递增,则,且不恒为零;可导函数在某个区间上单调递减,则,且不恒为零.
求单调性的步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用“,”★隔开,不能用“”连结。
极值与最值
对于可导函数,在处取得极值,则.
最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若在开区间有唯一的极值点,则是最值点。
求极值步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
检验的根的两侧的符号(一般通过列表),判断极大值,极小值,还是非极值点.
求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最小。
恒成立问题 “”和“”,注意参数的取值中“=”能否取到。
例1 ,过的切线方程为
例2 设函数在处取得极值。
(1)求的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。
(答:(1)a=-3,b=4;(2))
例3 设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
(答:(1)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减;时,,时, (2)a的取值范围是)
第二章 推理与证明
分清概念:合情推理与演绎推理
综合法 分析法的步骤规范
反证法 步骤:①提出反设;②推出矛盾 ;③肯定结论
数学归纳法 步骤规范:(1)归纳奠基;(2)递推步骤
(最后一定说明当n=k+1时,结论成立,根据(1)(2),结论对于(或者其他)成立,必不可少)
例1 用综合法和分析证明
例2 已知
例3 ,求的值,由此猜想的通项公式,并证明。
(答:)
第三章 数系的扩充与复数的引入
复数的概念 三种表示形式:代数形式:,复平面内点Z(a,b),向量.
区分实数,虚数,纯虚数,复数
复数的四则运算及其几何意义
复数的模
例1 ()的充要条件是_________________________
例2 设复数满足条件那么的最大值是( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
例3 实数为何值时,复数.
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)为纯虚数;
(4)对应点在第二象限.
例4.已知为实数.(1)若,求;(2)若,求,的值.
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