Question

二次型f(x1,x2,x3)=2x^2-2x1x2+2x^2+2x2x3+2x3^2的矩阵A=

f(x1,x2,x3)=2x1^2-x1x2+0 x1x3-x2x1+2x2^2+x2x3+0 x3x1+x3x2+2x3^2

（2 -1 0)(x1)
=(x1,x2,x3)(-1 2 1)(x2)
(0 1 2)(x3)
问题一：2x1^2-x1x2+0 x1x3-x2x1+2x2^2+x2x3+0 x3x1+x3x2+2x3^2
这一长串怎么来的
问题二：为什么有了(x1,x2,x3)又有竖的那排x1x2x3

Answer 1

1、这是条件，是给你的一个函数。
2、你按照矩阵的乘法运算把行向量，矩阵，列向量三个矩阵的乘积计算完（耐心计算）就是题目给你的函数。
这是二次型必须知道的一个结果，所有的二次型题目都是从这个结果出发得到的。就是一个二次型
a11*x1^2+a22*x2^2+....+ann*xn^2
+2a12*x1*x2+2a13*x1*x3+....+2a1n*x1*xn
+2a23*x2*x3+...+2a2n*x2*xn
+....
+2(an-1n)*x(n-1)*xn
=(x1,x2,....,xn)*A*(x1,x2,....,xn)^T
其中A＝（aij）。

追问

你按照矩阵的乘法运算把行向量，矩阵，列向量三个矩阵的乘积计算完（耐心计算）就是题目给你的函数。
什么意思？
这个是题目f(x1,x2,x3)=2x1^2-x1x2+0 x1x3-x2x1+2x2^2+x2x3+0 x3x1+x3x2+2x3^2，其它的是解析

追答

对啊，就是让你做乘法运算。你就慢慢计算吧。计算完了你对比一下就知道了。

追问

我不知道你说的是要计算什么？
计算 （2 -1 0)(x1)
=(x1,x2,x3)(-1 2 1)(x2)
(0 1 2)(x3)
这个吗？那这个式子又是怎么得来的呢

追答

对，就是让你计算这个式子，计算完了就应该知道怎么回事了。然后你再好好计算一下我说的那个二次型a11*x1^2+a22*x2^2+....+ann*xn^2
+2a12*x1*x2+2a13*x1*x3+....+2a1n*x1*xn
+2a23*x2*x3+...+2a2n*x2*xn
+....
+2(an-1n)*x(n-1)*xn
=(x1,x2,....,xn)*A*(x1,x2,....,xn)^T
其中A＝（aij）。
计算一下就知道二次型是怎么回事了。一定要算啊。

追问

算到（ 2x1-x2 ）(x1)
(-x1+2x2+x3) (x2)
( x2+2x3 ) (x3)这里了，不知如何继续下去...

追答

你写错了。第一步得到是行向量：（ 2x1-x2，-x1+2x2+x3， x2+2x3 )，然后再跟列向量(x1 x2 x3)^T乘积。乘开就是结果了。熟悉这种乘法后遇到二次型就不需要这么做了，记住二次型对应的矩阵长的什么样子就可以了，然后直接写出二次型对应的矩阵。

追问

（ 2x1-x2，-x1+2x2+x3， x2+2x3 )，(x1 x2 x3)^T相乘，是按左边的排列么？变成这样我突然不知道怎么乘了都

追答

对啊，行向量乘以列向量都不会？矩阵的基本运算啊。多做一些计算题吧。实在不行，二次型对应的矩阵就得记住了，死记硬背也得记住啊。

追问

答案是（2x1^2-x1x2,-x1x2+2x2^2+x2x3,x2x3+2x3）
跟这个2x1^2-x1x2+0 x1x3-x2x1+2x2^2+x2x3+0 x3x1+x3x2+2x3^2
好像不一样吧

追答

你算得不对。(2x1－x2)*x1+(－x1+2x2+x3)*x2+(x2+2x3)*x3
=2x1^2－x2x1－x1x2+2x2^2+x3x2+x2x3+2x3^2
是行向量乘列向量。你的基本功不过关啊，要加强计算能力。

追问

+0 x1x3+0 x3x1它比你多这两个哦

追答

0乘以任何数都是0，写上去只是为了好看。