Question

微积分怎么学?如何反导数???

Answer 1

反导数，即不定积分的求法，是求导数的逆过程
当你学了求导数后，就会求积分了
不定积分的主要求法：

第一换元法：
包括显式代入法和隐式代入法
显式代入法，即令t = ... g(x)，dt = ... g(x) dx这种的形式，主要是化简积分式子
隐式代入法，即凑微分法，利用微分的原理进行隐性代入
例如∫ √(1 + x) dx = ∫ √(1 + x) d(1 + x)，过程中可看到dx变为d(1 + x)
这是微分法，d(1 + x) = (1)'dx + (x)'dx = 0 + (1)dx = dx

第二换元法：主要是用三角函数代入法以达到消除根号的效果
对于√(a² - x²)、1/√(a² - x²)、√(a² - x²)/x等等，令x = a*sinθ 或 x = a*cosθ
对于√(a² + x²)、1/√(a² + x²)、√(a² + x²)/x等等，令x = a*tanθ 或 x = a*cotθ
对于√(x² - a²)、1/√(x² - a²)、√(x² - a²)/x等等，令x = a*secθ 或 x = a*cscθ
如果被积函数中有复杂的三角函数，如sinθ/(sin²θ + cos³θ)，可考虑用万能代换u = tan(x/2)
但要注意第三个代入法，即令x = a*secθ 或 x = a*cscθ，他们的反函数都是断续的，需分区间讨论

分部积分法：这是透过导数的乘法法则而来的
即∫ vdu = uv - ∫ udv的形式，目地是能对复杂部分的被积函数求导以进行化简
通常第一步是凑微分，例如∫ xcosx dx = ∫ x dsinx = xsinx - ∫ sinx dx
但有些则直接用，例如∫ lnx dx = xlnx - ∫ x d(lnx) = xlnx - ∫ dx
根据规则反对幂指三来做，即
反三角函数：arcsin(x)，arctan√[x - √(1 - x²)]，arcsec(x/2)等
对数函数：lnx，ln[x + √(1 + x²)]，log_7(8x)等
幂函数：x³，x^(8a)，x^(17)等
指数函数：e^(6x)，a^(5x)等
三角函数：sinx，tan(8x)，sec(7x)
反三角函数最复杂，所以做v，而三角函数最简单，所以做u
有些积分会出现循环现象，只需移位即可，例如
∫ e^x*cosx dx = ∫ e^x dsinx = e^x*sinx - ∫ sinx de^x = e^x*sinx - ∫ e^x*sinx dx
= e^x*sinx - ∫ e^x d(-cosx) = e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ cosx de^x
= e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ e^x*cosx dx，可见∫ e^x*cosx dx与原先的积分重复了，所以移到等号左边
2∫ e^x*cosx dx = (sinx + cosx)*e^x，移到左边相加，然后两边都除以常数，使左边变回原式样子
∫ e^x*cosx dx = (1/2)(sinx + cosx)*e^x + C，C为任意常数

有理积分法：即利用部分分式和待定系数法原理，将一个大分式拆解为数个小分式进行化简
例如求∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)]，这样的形式很难求，于是采用有理积分法
设1/[(x + 1)(x² + 1)] = A/(x + 1) + (Bx + C)/(x² + 1)，分子比分母少一次指数
右边通分得1/[(x + 1)(x² + 1)] = [A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)]/[(x + 1)(x² + 1)]
分母相同，只看分子：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)，这是个恒等式，无论x代入什么数字，两边都相等
解法一：代入x = -1，1 = A(2) + 0，得出A = 1/2
代入x = 0，1 = A + C = 1/2 + C，得出C = 1/2
代入x = 1，1 = (1/2)(2) + (B + 1/2)(2) = 1 + 2B + 1，得出B = -1/2
即1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
所以∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)] = (1/2)∫ dx/(x + 1) + (1/2)∫ (- x + 1)/(x² + 1) dx
解法二：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)，拆开括号
1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C，再将同类项组起
0x² + 0x + 1 = (A + B)x² + (B + C)x + (A + C)，再比较两边的系数，得
A + B = 0
B + C = 0
A + C = 1
解方程，得：A = 1/2，B = -1/2，C = 1/2
所以1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
要用的公式其实还有许多，有数百条，但上面的方法已经足够解一般的题目了。
求完不定积分，记住别忘了常数C，这个代表任意常数，要在题目给定足够的条件才能求得
例如给了一个坐标，再代入结果，就找到常数C的值了。