Question

(1+X^2)/(1+X^4)的不定积分

Answer 1

∫ (1 + x²)/(1 + x⁴) dx，

= ∫ (1/x² + 1)/(1/x² + x²) dx

= ∫ d(x - 1/x)/[(1/x)² - 2(1/x)(x) + (x)² + 2]

= ∫ d(x - 1/x)/[(x - 1/x)² + (√2)²]

= (1/√2)arctan[(x - 1/x)/√2] + C

= (1/√2)arctan[x/√2 - 1/(x√2)] + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫ (1 + x²)/(1 + x⁴) dx，上下除以x²
= ∫ (1/x² + 1)/(1/x² + x²) dx
= ∫ d(x - 1/x)/[(1/x)² - 2(1/x)(x) + (x)² + 2]，将分子积分后移进dx里，凑微分
= ∫ d(x - 1/x)/[(x - 1/x)² + (√2)²]
根据公式∫ dx/(a² + x²) = (1/a)arctan(x/a)，直接飞去答案
= (1/√2)arctan[(x - 1/x)/√2] + C
= (1/√2)arctan[x/√2 - 1/(x√2)] + C