计算∫∫D（x^2+y^2）dxdy.其中D是由x^2+y^2＝2y，y＝x.，x＝0围成区域，求高手解答！ 40
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利用极坐标变换：x=rcosθ,y=rsinθ;
D可化为D'：r=2sinθ,θ=π/4,θ=π/2;
∫∫D（x^2+y^2）dxdy
=∫∫D'（r²）rdrdθ
=∫<π/4,π/2>dθ∫<0,2sinθ>r³dr
=∫<π/4,π/2>dθ[1/4r^4]|<0,2sinθ>
=∫<π/4,π/2>dθ[4sin^4θ]
=∫<π/4,π/2>[3/2- 2cos2θ+ 1/2 cos4θ]dθ
=5/2
D可化为D'：r=2sinθ,θ=π/4,θ=π/2;
∫∫D（x^2+y^2）dxdy
=∫∫D'（r²）rdrdθ
=∫<π/4,π/2>dθ∫<0,2sinθ>r³dr
=∫<π/4,π/2>dθ[1/4r^4]|<0,2sinθ>
=∫<π/4,π/2>dθ[4sin^4θ]
=∫<π/4,π/2>[3/2- 2cos2θ+ 1/2 cos4θ]dθ
=5/2
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