Question

已知函数f(x)=(ax＾2+bx+c)e＾（-x）(a不等于0)的图像过点（0，-2）,且在该点的切线方程为4x-y-2=0

1、 若f(x)在[2,+∞) 上位单调增函数，求实数a的取值范围
2、 若函数F（x）=f(x)-m恰好有一个零点，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：
(1)
整理切线方程得y-(-2)=4(x-0)，函数图象在(0，-2)点处的切线的斜率为4
令x=0 y=-2
c×e^(-0)=c=-2
f(x)=(ax²)e^(-x)+(bx)e^(-x)-2e^(-x)
f'(x)=(2ax)e^(-x)-(ax²)e(-x)+b×e^(-x)-(bx)e^(-x)+2e^(-x)
x=0时，f'(x)=4
f'(0)=b+2=4
b=2
f(x)在[2,+∞) 上为单调增函数，即x≥2时，f'(x)≥0
f'(x)=e^(-x)[-ax²+2(a-1)x+4]
e^(-x)恒>0，要f'(x)≥0，即x≥2时，-ax²+2(a-1)x+4≥0
令g(x)=-ax²+2(a-1)x+4，对称轴x=(a-1)/a，要满足题意，只要(a-1)/a≤2 a<0 g(2)≥0
解得a≤-1
(2)
第二问是不是在第一问的基础上做？

Answer 2

这么烦？还没分？
f（x）=（ax2+2x-2）e＾（-x）
这个很好算
导函数e＾（-x）（-ax2+（2a-2）x+4）
就是导函数在大于等于2的时候大于0
所以a必须小于0，对称轴小于等于2，二次函数f（2）大于等于0
得到：a小于等于-1

（ax2+2x-2）e＾（-x）=m，画图像就可以了
讨论a等于0时，m小于等于0
a大于0时，m大于f(2)就是4a+2
a小于0时，还要讨论