Question

φ(x)=a/(x+1)),a为正常数.若g(x)=|lnx|+φ(x),对任意x1,x2∈(0,2],(g(x1)-g(x2))/(x2-x1)<-1,求a取值范围

Answer 1

根据拉格郎日中值定理有：(g(x1)-g(x2))/(x2-x1)=-g'(y) y介于x1，x2之间，而x1,x2∈(0,2]
因此，根据题目中要求所知，只要在(0,2)区间内满足-g'(y)<-1即可达到要求。
故：g'(y)>1
当y<1时，g'(x)＝[-lny+φ(y)]'=-1/y-a/(y+1)^2，g''(y)=1/y^2+2a/(y+1)^3>0
故：g'(y)max=g'(1-)=-1-a/4;a<-8
当y>1时，g'(y)＝[lny+φ(y)]'=1/y-a/(y+1)^2>1，
a<-(y-1)(y+1)^2/y,1<y<2
令h(x)=-(x-1)(x+1)^2/x,1<x<2,h'(x)=-[(x+1)^2+2x(x-1)(x+1)]/x^2<0可得：h(x)min=h(2-)=-9/2
故：a<-9/2
综上所述：a<-8