Question

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定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R，有f(a+b)=f(a）*f(b)
1）证明对任意的x∈R，恒有f(x）>0
2）判断函数y=f(x)的单调性

一定要有过程啊！小妹拜谢！！

Answer 1

解：（1）f(a+b)=f(a）*f(b),则
f(0+0)=f(0)^2
又f(0)≠0，则
f(0)=1
当x<0时
f(a+b)=f(a）*f(b)中若f(x)>0 ，则
f(a+b)>0
若f(x)<0,则
f(a）*f(b)>0与f(a+b)<0矛盾
则对任意的x∈R，恒有f(x）>0

（2）令b=-a,且a>0,则
f(a)*f(-a)=1
又当x>0时，f(x)>1，则
f(a)>1,0<f(-a)<1
那么，此函数为单调增函数（其实这样说是不对的，不过你硬要来个考察其单调性，那么只有这样。因为这些条件只能说明f(-a)<f(a)(a>0)）

Answer 2

（1）
f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
因为f(0)≠0，所以f(0)=1.

若存在x<0,使得f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=0,与f(0)=1矛盾。所以对任意的x∈R，恒有f(x）≠0。

对任意的x∈R
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2）*f(x/2) 恒大于0

（2）任意的k>0,，x∈R，有x+k>x
f(x+k)-f(x)=f(x)*f(k)-f(x)=f(x)*(f(k)-1)
因为f(x)>0,当k>0时，f(k)>1
所以f(x+k)-f(x)〉0
所以f(x)在R上单调递增。

Answer 3

不妨设a=b=0，则f(0)=f(0)*f(0),又(0)≠0，=>f(0)=1,设b=-a≠0,则f(0)=f(a)*f(-a)=1,=>f(a)同号，又当x>0时f(x)>1>0,=>f(x)>0

Answer 4

上面解的很好，我只说一点，为什么不设b=0哪？这样就可以很简单得出f(0)=1不是吗？