Question

已知实数a,b,c，a+b+c=1,a2+b2+c2=3,求abc的最大值

Answer 1

a+b+c=1两边平方得a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1
又a²+b²+c²=3可得ab+bc+ca=-1
-1=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
而ab=c²-c-1，a+b=1-c
所以a,b是方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根。
⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0 得-1≤c≤5/3
abc=(c²-c-1)c=c³-c²-c
即求其最大值f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3
求导f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1) =0 x=-1或x=-1/3
代入求值得 x=-1取最小值 x=-1/3取最大值
f(-1/3) =5/27

Answer 2

因a+b+c=1
两边平方，整理可得
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1
结合a²+b²+c²=3可得
ab+bc+ca=-1
∴-1=ab+c(a+b)
=ab+c(1-c)
∴ab=c²-c-1
又a+b=1-c
∴由韦达定理可知
a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根。
∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0
整理可得3c²-2c-5≤0
解得: -1≤c≤5/3
ab=c²-c-1
abc=c³-c²-c
构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3
求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1)
∴f(x)max=max{f(-1/3), f(5/3)}=5/27
∴(abc)max=5/27

Answer 3

a+b+c=1 整理可得
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1
结合a²+b²+c²=3可得
ab+bc+ca=-1
∴-1=ab+c(a+b)
=ab+c(1-c)
∴ab=c²-c-1
又a+b=1-c
∴由韦达定理可知
a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根。
∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0
整理可得3c²-2c-5≤0
解得: -1≤c≤5/3
ab=c²-c-1
abc=c³-c²-c
构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3
求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1)
∴f(x)max=max{f(-1/3), f(5/3)}=5/27
∴(abc)max=5/27 。