Question

一道函数题目

定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：
1.f（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+无穷）上是增函数。
2.f（x）的导函是偶函数
3.f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直
问题(1).求函数y=f(x)的解析试
(2).设g(x)=in x-m/x，若存在x€[1,e]，使g(x)<f'(x)，求实数m的取值范围。

Answer 1

分析：
(1)本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及在某点处的切线问题，同时考查了存在性问题，是一道函数综合题，考查学生的基本功；
(2)欲求解析式中的三个参数，则寻找三个参数的三个等式即可，根据f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，可得f′（1）=0，根据f′（x）是偶函数可求出b，最后根据f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，建立关系式即可求出函数的解析式；
(3)将参数m分离出来，即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x，然后研究不等式右边的函数的最小值即可求出m的范围。

解答：
(1)f'(x)=3ax²+2bx+c
∵f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，
∴ f′(1)=3a+2b+c=0①
由f′(x(是偶函数得：b=0②
又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，可得：
f'(0)=c=-1③
由①②③得：
a=1/3,b=0，c=-1，即：
f(x)=(1/3)x³-x+3
(2)由已知得：
存在x∈[1，e]，使lnx-m/x<x²-1
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x
设M(x)=xlnx-x³+x x[?][?][?][1，e]，
则M'(x)=lnx-3x²+2
设H(x)=M'(x)=lnx-3x²+2，
则H'(x)=1/x-6x=(1-6x²)/x
∵x∈[1，e]，
∴H'(x)＜0，即H（x）在[1，e]递减
于是，H(x)≤H(1)，
即H(x)≤-1＜0，即M'(x)＜0
∴M(x)在[1，e]上递减，
∴M(x)≥M(e)=2e-e³
于是有m＞2e-e³为所求。

结论：
写出这道题的标准答案真的快累死我了，主要是数学符号和公式的输入太麻烦了！

Answer 2

(1)f'（x）=3ax^2+2bx+c,由条件1得，f'(1)=3a+2b+c=0
由条件2得，3ax^2+2bx+c=3ax^2-2bx+c，解得b=0,
由条件3得，f'(0)=c=-1
综上解得a=1/3,b=0,c=-1
所以f(x)=1/3x^3-x+3
(2)