Question

已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦与最短分别为ac和bd,则四边形abcd的面积

我想知道最短弦BD怎么求出来的.垂直于AC.
可是我求不出AC的直线方程

Answer 1

圆方程是(x-3)²+(y-4)²=25，所以圆心（3,4），半径5

因为（3,4）到原点（0,0）的距离为5，所以圆过原点。

过点（3,5）的最短的弦是与半径垂直的弦，因为（3,5）与圆心的横坐标相等，所以AC与x轴平行，那么最长的弦BD，是过这个点的直径。

可以求得圆心到AC的距离是1，又半径是5，所以AC=2√(25-1)=4√6，而BD=10，

所以ABCD的面积是1/2*4√6*10=20√6

追问

如何求得AC阿。。。？

追答

圆心到AC的距离是1,设为线段MN，N为点（3,5），因为△ANM是直角三角形，由勾股定理可以求得AN，从而AC=2AN，这就是式子AC=2√(25-1)=4√6的含义，也就是如此求得的。

Answer 2

解答：
由圆方程变形得：﹙x－3﹚²＋﹙y－4﹚²=5，
∴圆心坐标为M﹙3，4﹚，半径=5，
过点N﹙3，5﹚作直径AC，
再过N点作BD⊥AC交圆M于B、D两点，
则AC为最长弦，BD为最短弦，
连接BM，由垂径定理得：
NB=ND，
∴MN=1，∴AN=4，NC=6，
在直角△BMN中，由勾股定理得：
BN=2√6，∴BD=4√6，
∴四边形ABCD面积
=△ABD面积＋△CBD面积
=½×4√6×4＋½×4√6×6
=20√6。