Question

高一数学解答！！！急！！！

在三角形ABC中，已知2√2（sin^A-sin^c)=(a-b)sinB,外接圆半径为√2
（1）求角C

（2）求三角形面积的最大值

提示：2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r

Answer 1

[[1]]
由正弦定理可知:(即你的提示)
sinA=a/(2r)
sinC=c/(2r)
sinB=b/(2r)
代入题设等式:
(2√2)(sin²A-sin²C)=(a-b)sinB中,
整理可得:
a²-c²=(a-b)b
∴由此可得:
(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2.
∴由余弦定理可得:
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=1/2.
即cosC=1/2.
结合0º＜C＜180º可知
∠C=60º
[[2]]
由三角形面积公式及正弦定理可得
S=(1/2)absinC
a=(2r)sinA
b=(2r)sinB
∴S=(1/2)4r²sinAsinBsinC
=(1/2)×4×(√2)²sinAsinBsin60º
=(2√3)sinAsinB
=(√3)cos(A-B)-cos(A+B)] (积化和差)
=(√3)[cos(A-B)+cosC]
=(√3)[cos(A-B)+(1/2)] (∵∠C=60º)
∴面积S=(√3)[cos(A-B)+(1/2)]
显然 cos(A-B)≤1, 等号仅当A=B时取得,
∴Smax=(3√3)/2