Question

一道线性代数试题

证明:任何一个秩为M的矩阵,必能表示成M个秩为1的矩阵之和

Answer 1

秩为M，说明有M列线性无关，其它列可以用这M列线性表示。设这M列为A(1),A(2),...,A(M)，其它的列设为B(1),B(2),...,B(N)，这里数字并不代表列的次序，只是为了叙述方便。设
B(1)=k11·A(1)+k12·A(2)+...+k1M·A(M)
B(2)=k21·A(1)+k22·A(2)+...+k2M·A(M)
......................................
B(N)=kN1·A(1)+kN2·A(2)+...+kNM·A(M)
上面的k11,k12,...,kNM等就是一个数，不是乘积的意思，后面的k1i,k2i,kNi等也表示一个数。

秩为1的矩阵这样构造：A(i)列不动，A的其它列全部置为0，B(1)列所在位置的数按A(i)列的数乘以k1i倍，B(2)列所在位置的数按A(i)列的数乘以k2i倍，...，B(N)列所在位置的数按A(i)列的数乘以kNi倍，这样矩阵就构造出来了，这个矩阵的秩显然为1，因为其它列要么是0，要么是A(i)的倍数。i从1到M，就构造出M个矩阵。这M个矩阵的和显然等于原矩阵。

Answer 2

是吗